El infinito

Seguro que alguna vez en vuestra vida os habéis preguntado: ¿qué es el infinito?

Ni los granos de arena de la playa, ni las estrellas en el cielo, ni siquiera los átomos en el universo son infinitos. Entonces, ¿para que sirve el infinito? Para encontrarnos con el infinito tenemos que adentrarnos en el mundo de las matemáticas, los números naturales son infinitos, los números que podemos representar sobre una recta son infinitos, incluso los números comprendidos entre el 1 y el 2 son infinitos.

El gran matemático David Hilbert (1862-1943) ponía el siguiente ejemplo para explicar este concepto:

En una noche de tormenta un viajero llega a un hotel con infinitas habitaciones y en la puerta cuelga un cartel en el que se lee: ¿Completo?

En cualquier otro hotel este cartel haría que nuestro viajero se desesperara, ya que el hotel de Hilbert queda a cientos de kilómetros de la civilización, pero en este caso nuestro viajero entra y pide tranquilamente una habitación, en este momento el conserje coge el teléfono y da una orden general: que el ocupante de la habitación uno se mude a la habitación dos, el de la habitación dos a la habitación tres, el de la tres a la cuatro y así sucesivamente. Mediante esta sencilla operación la habitación uno queda vacía y nuestro viajero puede ocuparla y así el hotel seguirá estando como antes: Completo.

Ahora supongamos que en lugar de un viajero llega un autobús con 60 viajeros. El conserje esta vez daría la orden de que el ocupante de la habitación uno se mude a la 61, el ocupante de la habitación dos se mude a la 62 y así sucesivamente.

Por último, supongamos que en vez de llegar un solo viajero, llegaran infinitos. El conserje, esta vez, indicaría al ocupante de la habitación uno, que se mudara a la dos, al de la dos, a la cuatro, al de la tres, a la seis; y otra vez lograría acomodar a la multitud recién venida en las habitaciones impares, que quedarían todas vacía. Y si el dueño del hotel decidiera clausurar la mitad de las habitaciones, no por eso la cantidad de cuartos cambiaría. Sería la misma, y tan infinita como antes.

Otra pregunta que nos podemos hacer relacionada con el infinito sería la siguiente:

¿Son todos los infinitos iguales? Obviamente no, puesto que es muy fácil darse cuenta que hay más números reales que números naturales (1, 2, 3…) y ambos son infinitos.